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2009-07-04

知識

角の定義
[図1]の半径rの円における扇形(太線)において、
弧の長さがlとなるような扇の中心角を
θ=l/rと定義する。
θは長さを長さで割ったものなので無次元であるが、
角度であることを言う為に[rad](ラジアン)という単位をつけることがある。

三角関数
[図2]の直角三角形のように、長さをa,b,r、角度θを設定した時(0<θ<π/2)、
三角比cosθ=a/r
sinθ=b/rを定義する。

今、θは有限の範囲を取る実数であるが、実数全域をとるように
拡大する三角関数を次のように定義する。

[図3]のxy座標で、原点を中心として半径rの円周上を自由に動く点Pについて
θ=∠POAとすると
点Pの座標は(r・cosθ, r・sinθ)通常は半径r=1の単位円で考える。

基本的性質
sinθ+cosθ=1 ---(1)
tanθ=sinθ/cosθ ---(2)
(1)の両辺をcos2θで割れば、
tanθ+1=1/cosθ ---(3)
従って、sinθ,cosθは[-1,1]内の実数、tanθは実数全域を取る。

sinθ、cosθは周期2πの周期関数。
sin(θ+2π)=sinθ ---(4)
cos(θ+2π)=cosθ ---(5)

sin(x)とcos(x)はずれており
sin(x+π/2) = cos(x) ---(6)

cos(x)は偶関数
cos(x) = cos(-x) ---(7)
sin(x)は奇関数
sin(-x) = -sin(x) ---(8)

加法定理
幾何学的関係から
sin(α+β) = sinα・cosβ+sinβ・cosα
βの代わりに-βを入れ、(7)と(8)から
sin(α-β) = sinα・cosβ-sinβ・cosα
この二式を纏めると
sin(α士β) = sinα・cosβ士sinβ・cosα ---(9)
また、
cos(α+β) = cosα・cosβ-sinα・cosβ
βの代わりに-βを入れ、(7)と(8)から
cos(α-β) = cosα・cosβ+sinα・cosβ
この二式を纏めると
cos(α士β) = cosα・cosβ干sinα・sinβ ---(10)
また、
tan(α士β) = {tanα士tanβ}/{1干tanα・tanβ} ---(11)

加法定理は基本事項の中の最も重要な事項である。以下では、断り無く用いる。
二倍角の公式 (9)の複号の上の式でα=βを用いれば sin2α = 2sinα・cosα ---(12) (10)の複号の上の式でα=βを用いれば cos2α = cosα-sinα ---(13) これに(1)を用いると cos2α = 2cosα-1 = 1-2sinα ---(14) 半角の公式 (14)のcos2α = 1-2sin2α にA=2αを代入すると cosA = 1-2sin(A/2) ⇔ sin(A/2) = (1-cosA)/2 ---(15) (14)のcos2α = 2cos2α-1 にA=2αを代入すると cosA = 2cos(A/2)-1 ⇔ cos(A/2) = (1+cosA)/2 ---(16) 三倍角の公式 sin3α = sin(2α+α)     = sin2α・cosα+cos2α・sinα     = 2sinα・cosα・cosα+(1-2sinα)・sinα     = 2sinα(1-sinα+1-2sinα)     = 3sinα-4sin3α ---(17) cos3α = cos(2α+α)     = cos2α・cosα-sin2α・sinα     = (2cosα-1)cosα-2sinαcosα     = (2cosα-1-2(1-cosα))cosα     = 4cos3α-3cosα ---(18) 和積の交換 この小章では  A=α+β, B=α-β とする。 (9)の複号の上の式と下の式を足せば sin(α+β)+sin(α-β) = 2sinα・cosβ ---(19) ⇔ sinA+sinB = 2sin{(A+B)/2}・cos{(A-B)/2} ---(20) (10)の複号の上の式と下の式を足して cos(α+β)+cos(α-β) = 2cosα・cosβ ---(21) ⇔ cosA+cosB = 2cos{(A+B)/2}・cos{(A-B)/2} ---(22) (10)の複号の下の式から上の式を引いて cos(α-β)-cos(α+β) = 2cosα・sinβ ---(23) ⇔ cosB-cosA = 2sin{(A+B)/2}・sin{(A-B)/2} ---(24) sinとcosの交換 (6)よりsin(x+π/2) = cos(x)であるが、x→x-π/2の変数変換を施すと sin(x) = cos(x-π/2) cos(x)は偶関数であり、cosθ=cos(-θ)であることから sin(x) = cos(π/2-x) ---(25) また、x→π/2-xの変数変換をすると sin(π/2-x) = cos(x) ---(16) このように、sin,cosをcos,sinに単純に変換することができる。 三角関数の合成 直角の挟辺がa,bとなるような直角三角形を考える。 辺aの2隣角の直角でない方をαとする。(α<π/2) この時 cosα = a/√(a+b), sinα = b/√(a+b) となるから、 a・sin(x)+b・cos(x) = √(a+b) cosα・sin(x)+√(a+b) sinα・cos(x)          = √(a+b)・sin(x+α) ---(27) 三角数を含む方程式 #sin(x)=0 ⇔ x=nπ(nは整数) #cos(x)=0 ⇔ x=π/2+nπ(nは整数) #sin(x)=1 ⇔ x=π/2+2nπ(nは整数) #cos(x)=1 ⇔ x=2nπ(nは整数) #sin(x)+sin(y)=0 ⇔ 2sin{(x+y)/2}・cos{(x-y)/2}=0 ∴sin{(x+y)/2}=0またはcos{(x-y)/2}=0 ⇔ (x+y)=2nπまたは(x-y)=(2n+1)π ⇔ y = -x+2nπ または   y = x-(2n+1)π   (但しnは整数) #a・sin(x)+b・cos(x)=0 ⇔√(a+b)・sin(x+α)=0 (ただし、αはtanα=b/aを満たす) ∴sin(x+α)=0 ⇔x=nπ-α   =nπ-tan-1(b/a) 極限 右図4のような扇とそれに内接、外接する直角三角形を考える。 内接する直角三角形の面積 S1 扇の面積 S2 外接する直角三角形の面積 S3 は S1<S2<S3 を満たすのは図より明らか。 S1 = r・a S2 = r・b S3 = r・c a = r・sinθ b = rθ c = r・tanθ ∴ sinθ<θ<tanθ (0<θ<) ---(28) (28)より 0<θ<について sinθ<θ⇔sinθ/θ<1 θ<tanθ⇔cosθ<sinθ/θ ∴cosθ<sinθ/θ<1 θ→0に飛ばす時、cosθ→1なので挟み撃ちによって sinθ/θ→1 (θ→0) ---(29) また(28)より 0<θ<について θ<tanθ⇔1<tanθ/θ sinθ<θ⇔tanθ/θ<1/cosθ ∴1<tanθ/θ<1/cosθ θ→0に飛ばす時、1/cosθ→1なので挟み撃ちによって tanθ/θ→1 (θ→0) ---(30) 微分 {sin(x+h)-sin(x)}/h = {sin(x)・cos(h)+sin(h)・cos(x)-sin(x)}/h           = {sin(x)・(cos(h)-1)+cos(x)・sin(h)}/h           = sin(x)・(cos(h)-1)/h + cos(x)・sin(h)/h           → 0+cos(x)・1 = cos(x) (h→0) 微分の定義から {sin(x)}' = cos(x) ---(31) 更に、(26)を用いれば {cos(x)}' = {sin(π/2-x)}'      = -cos(π/2-x)      = -sin(x) {cos(x)}' = -sin(x) ---(32) (31)と(32)を使えば {tan(x)}' = 1/cos2(x) テイラー展開 x〜0の周りでのテイラー展開 f(x)〜f(0)+f'(0)・x+f"(0)・x2/2!+ … +f(n)(0)・xn/n!+ … を用いれば sin(x)〜x-x3/3!+x5/5!-x7/7!+ … ---(33) cos(x)〜1-x2/2!+x4/4!-x6/6!+ … ---(34) |x|が十分小さければxの二次以上を無視して sin(x)≒x ---(35) cos(x)≒1 ---(36) 積分 ○例題 部分積分 {f(x)g(x)}'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)  ⇔ ∫f'(x)g(x) = f(x)g(x)-∫f(x)g'(x)dx を繰り返し用いれば f(x)がn次以下の整式の時、 sinθ1やcosθ2が混在する式は 和積変換の公式により和に直せば積分計算が楽になる。 更に積分結果がA・sinθ1+B・cosθ1+C・sinθ2+D・cosθ2 になることを期待して、 コレを微分してABCDを求めてもよい。

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