==力学 ================================================

--保存量 ----------------------------------------------

vで動くmに力Fを加えるとv'になった。
加速度はa=F/m
微小時間�冲秒だけ力が加わったとすれば
　v'=v+(F/m)･�冲
両辺にmを掛けて
　mv' - mv = F･�冲
mvを運動量
Ftを力積と定義する。
「増加した運動量は加えられた力積に等しい」

2つの物体m1とm2が衝突した。
速度はそれぞれv1,v2から衝突後v1',v2'になった
与えられた力は作用・反作用の法則から
m1に力Fが加わったならm2には-F加わる。
　ｍ1･ｖ1 + F･�冲 = ｍ1･ｖ1'
　ｍ2･ｖ2 - F･�冲 = ｍ2･ｖ2'
2式を足すと
　m1v1+m2v2=m1v1'+m2v2'
よって、運動量の合計は保存される。

--質量中心 ---------------------------------------------

2物体m1とm2の位置ベクトルをそれぞれr1,r2とする。
コレの重心を考える。
重心の質量はm1+m2で位置ベクトルは
	ｍ1･ｒ1 + ｍ2･ｒ2
ｒc = ──────────
	  ｍ1 + ｍ2
この位置ベクトルを重み付き重心とも言う。
この式を時間tで微分すれば、
位置ベクトルrが速度ベクトルvになり、
	ｍ1･ｖ1 + ｍ2･ｖ2
ｖc = ──────────
	  ｍ1 + ｍ2
そして
ｍ1･ｖ1 + ｍ2･ｖ2は外力が加わらなければ一定なので
vcは一定。
また、両辺に(m1+m2)を掛ければ
　(m1+m2)vc = m1v1+m2v2
m1+m2を重心の質量と考えることができる。

--仕事 ------------------------------------------------

vで動くmにFが加わってv'になり、それまでに微小距離�决動いた
とする。
　mv'-mv = F�冲 ⇔ m(v'-v)/�冲 = F
が成り立つので(運動量の節を参照)
　W = F�决
　　= m(�决/�冲)(v'-v)

�冲が微小であることに注意して
　�决/�冲 = (v'+v)/2 前後の速度の平均

代入して
W = m(v'+v)(v'-v)/2
　=(1/2)mv'^2 - (1/2)mv^2
加わった仕事だけ運動エネルギは増加する。

Wを仕事
Ek = 1/2mv^2を運動エネルギ
と定義する。
因みにP=W/�冲を仕事率という。

--位置エネルギー ---------------------------------------

まず例として重力を取り上げる。

重力によって、物体mをhの高さまで持ち上げる仕事は
-mgを0からhまでdxで積分して
　W = ∫[0〜h]-mg･dx
　　= -mgh
物体を持ち上げる方向と重力がかかる方向は逆である
からWにはマイナスがついている。
　「仕事の符号を変えたものを位置エネルギーとする。」
-W=mghを位置エネルギーEpと定義する。

バネが自然長からx伸びたときkxの力が逆向きにかかるから
自然長よりh伸ばす(縮ませる)のにかかる仕事は
　W = ∫[0〜h]-kx･dx
　　= -1/2kh^2
-W即ち1/2kh^2をバネによる位置エネルギーEdと定義する。
特にバネの場合は弾性力によるものなので
弾性エネルギーと呼ぶ場合もある。

--力学的エネルギ --------------------------------------

ある物体mには一定の力Fがかかっている。
今、物体が位置rにある時、Fによる位置エネルギーを
Ｕ(r)で表す。
mに力fをさらに加えると
r1にある時v1で動き、r2にある時v2で動いたとする。
Ekの増加はかかった仕事に等しいはずだから
　1/2m(v2^2 - v1^2) = (F+f)(r2-r1)

U(r2)-U(r1)=-F(r2-r1)　だから(符号注意)
これを代入して
{1/2ｍｖ2^2 + U(r2)} = {1/2ｍｖ1^2 + U(r1)} + f(r2-r1)

{Ek+Ep}を力学エネルギー定義する。

--反発係数 --------------------------------------------

同一直線上を2つの物体m1,m2がそれぞれv1,v2で運動している。
速度は右向きに正、と揃えておく。
やがて衝突し、その後v1',v2'になったとする時、
	v1-v2
e = - ─────
	v1'-v2
速度の差の比を取るが、
v1とv2の大小は衝突後変化するのでマイナスを付けて
e≧0としている。一般にe≦1も満たしている。
e=0の時、完全非弾性衝突
e=1の時、(完全)弾性衝突　と呼ぶ。

衝突の前後で
・運動量の保存則
・運動エネルギの保存
の2式を解くことで2変数v1',v2'の解が求まる。
大変なので計算はしない。で、次が大事。

運動エネルギの和を次のように変形する。
Ek = 1/2･ｍ1･ｖ1^2 + 1/2･ｍ2･ｖ2^2
	= 1/2(m1+m2)･vc^2 + 1/2(m*)･(v1-v2)^2

vcは質量中心(質量中心の節を参照)の速度で
　vc=(ｍ1ｖ1+ｍ2ｖ2)/(ｍ1+ｍ2)
1/2(m1+m2)･vc^2は質量中心(重心)の運動エネルギで
Ec並進運動エネルギーと言う。
m1v1+m2v2は一定だからEcも一定。衝突に関わらない。

m*は換算質量といい
　m* = m1･m2/(m1+m2)
1/2m*･(v1-v2)^2は相対速度|v1-v2|にのみ依存し
Er相対運動エネルギーと言う。
(v1-v2)が衝突後-e倍になるので
Erは衝突後e^2倍になる。

-m*についてもうちょいkwsk ---------
Erについてm*はなにかの質量として
働いてるが実際どうだろう。

2物体m1,m2が衝突しm1にF,m2に-Fの力が
加わった。それぞれ加速度a1,a2とする。
m1a1 = F
m2a2 = -F
∴a1-a2 = F/m1 + F/m2
	= F/m*
　⇔F = m*･(a1-a2)

運動方程式(F=ma)に当てはめてもm*は
質量として働いている。
-----------------------------------

●例題
質量Mの台車が床の上にあり、台車の上には物体mがある。
mとMとの摩擦係数をμとする。
ある瞬間、mがMの上をvで動き、Mは停止していたとする。
mはMの上をxだけ進みMに対して止まった。

解)初め、相対エネルギErは
Ec = 1/2(m*)･(v-0)^2
　　= (m*)･v^2/2

mがMに対して止まった時、Erはゼロだから
Erは全て摩擦による仕事に変わったはずである。

摩擦力はμmgだから
W = μmgx

これが1/2(m*)･v^2に等しく、
x = (m*)･v^2/2μmg
但しm* = m･M/(m+M)　//

--質量中心系 -------------------------------------------

位置ベクトルr1,r2にある2物体がv1,v2で動いてる。
この物体を質量中心から見たとき、
・u1 =v1-vc
・u2 =v2-vc
という速度で運動している。
運動量の和は
　m1･u1 + m2･u2 = (m1v1-m1vc)+(m2v2-m2vc)
　　　　　　　　　　= m1v1+m2v2-(m1+m2)vc
vc = (m1v1+m2v2)/(m1+m2)
であることを思い出せば
これはゼロであることが分かる。

もちろん質量中心系において、
一直線上でu1,u2で動く2物体が衝突した時、
衝突後の速度は？

--円運動 -----------------------------------------------

物体が点Oを中心に円を描いて運動している。

角速度　ω=dθ/dt
幾何学的関係から
v = rω

速度vで運動していて�冲後にv'で運動したとする。
�况 = v'-v
	= vω�冲
∴a = �况/�冲
　　= vω
かかる力は
F = ma
　= mvω
これを向心力といい、常に中心を向いている。


/***
ベクトル�况が想像できない時は自分で図を書いてみると
いいだろう。

・点Ｏを中心とする半径rの円(物体の運動軌跡)を書く。
・円上のある点に物体がある時のvベクトルを書く。
　このベクトルは円に接するはず。
・その点から�冲秒後の点は、どこだろう。
　ω�冲の角度だけ進んだ所の円上の点となる。
・その時のv'ベクトルを書く。やはりその点で円に接する。
・vベクトルとv'ベクトルはどの程度ずれてるだろう。
　試しにv'ベクトルを平行移動して
　2つのベクトルの始点を揃える。
・幾何的にvとv'の成す角度はω�冲。
　�况はvの終点からv'の終点を繋いだベクトル。
　このベクトルは半径vで角度ω�冲の扇の弧と近似できる。
						***/

円運動するmがある点でvで動いてるとき
(円に対して)接線方向の加速度　ａr = dv/dt =r･dω/dt
法線加速度　ａn = vω

●半径Rの円状の床、例えば大きな円柱を横に倒して
その頂点Aにmの物体を静かに乗せると、しずかに転がり
やがて床から離れた。床の円の中心をOとして物体の位置
を点Pとする角度∠AOP=θを成した時物体は床から離れるか。

解）適当なθについて
物体の
　接線加速度をar
　法線加速度をan
床からの垂直抗力N

N=0となるのがギリギリ物体が床から離れるかどうかの状態。

接線向きと法線向きの運動方程式
　m･ar = mg･sinθ
　m･an = mg･cosθ-Ｎ　…�@

また円運動の性質から
ar = dv/dt
an = vω =rv^2 (= ω^2/r)　…�A

力学エネルギーから(失ったEp=Ek)
mgR(1-cosθ) = 1/2･m･v^2　…�B

�Bからv^2が求まり�Aに代入することでanが求まり
それを�@に代入してNが求まる。
N=0となるθが求まる。

●木かなんかで出来た直方体からまっすぐに
半径Rの円柱をくりだす。空いた円の穴の下にmをvで運動させ
円を上らせる。どこで床(壁？)から離れその後どういう運動
をするか。

解）略

--回転運動の運動方程式 --------------------------------

点Oを中心にr離れたところをvで動く物体mにかかっている
力のモーメントは
N = rF
　= rma
　= rm(dv/dt)
　= m･r^2(dω/dt)
今、m･r^2をIとする。このIを慣性モーメントと呼ぶ。
　N = I･dω/dt
これが回転運動における運動方程式。

-うわーい。比較表 ---------------
+----------+------------+
| 直線運動 | 回転運動 　|
+- --------+-  ---------+
|F=m･dv/dt | N=I･dω/dt |
+==========+============+
|　　m　　 |　　I　　　 |
|　　F　　 |　　N　　　 |
|　　v　　 |　　ω　　　|
|　　mv　　|　Im(=L)　　|
|　1/2mv^2 |　1/2Iω^2　|
+----------+------------+

角度θの床の上を半径rの円柱が転がる。
床との摩擦力をfとする。
速度vで転がってる時、次の３式が成立する。

�@斜面平行方向に　dv/dt = r･dω/dt
�A直線運動方程式　m･dv/dt = mg･sinθ-f
�B回転運動方程式　N=rf = I･dω/dt

�Aからfが求まりそれを�Bに代入しdω/dtが求まり
それを�@に代入するとdv/dtが求まる。Iはmr^2。
t=0でv=0とすればv=at=t･dv/dt
●失われたEpとEkの和(直線と回転)は等しいか？
解）もちろん等しいです。計算してみてください。

--慣性モーメントIについてもう少しkwsk-----------------

○質量mの「一質点」がある点の周りを半径rの円周上
を回転運動する時の慣性モーメントI=mr^2
というのが定義。
	----------
○同一円周上の半径rと半径Rの円周上を回転する
2質点mとMを併せた系のIを考える。
回転する速度ωが同じであるから。
N = rF + RF'
　= rma + RMa'
　= rm(r･dω/dt) + RM(R･dω/dt)
　= (mr^2 + MR^2)･dω/dt
よって
I=mr^2+MR^2　である。
	----------
○同様にして幾つかの質点(質量m[i], 回転する円の半径r[i])
が同じ角速度で回転する系のIは
　I = Σm[i]r^2[i]
である。
Iは回転軸からの距離rに依存するから、回転軸の取り方に
よってIは変わる。一般に重心を通る軸の時Iは最小。

質点ではなくて連続したもの、つまり普通の立体なら
Σが、∫になる。やってみる。
	----------
○半径r、質量Mのリング状の物体のIを考える。回転軸はリング
の中心を通り垂直とする。リングの太さは考えないでみる。

解）この物体をN個の微小部分に分ける。
一つの微小部分は質量dmの質点と見なせるから、その質点の
"微小"慣性モーメントはdI=dmr^2
∴I = ∫dI
　　= ∫dmr^2
　　= Mr^2
	----------
○半径R、高さh、質量Mの円柱について考える。回転軸は底面
の円の中心を通り垂直とする。

解）回転軸からキョリをrとする。rでの厚さdrの筒状の微小
物体に分ける。（図が無いとか不親切ですね）
その微小物体の微小慣性モーメントはリング状であるのに注意
して、
　dI = dm･r^2
微小物体の微小質量はrによって違うので注意が必要である。
この円柱の密度をρとしたら
　ρ= M/(π･R^2･h)
これを使って
　dm = ρ(2πr･dr･h)
よって
　I = ∫dI
　　= ∫dm･r^2
　　= ∫2ρπhr^3･dr
展開して解くと
　I = (1/2)MR^2

やった！hが入ってないよ！hが増えればMが増えるから当然だね。
微小部分の区分方法を変えてみても面白い。
	----------
○半径R、質量Mの球を考える。回転軸は球の中心を通る。

解）回転軸にx軸を置く。球の中心がx=0。
回転軸の垂直な向きに厚さdxで薄〜く輪切りに区分する。
微小部分の微小慣性モーメントは円柱だから
　dI = dm･r^2/2
微小円柱の半径をrと勝手に置いたが
　r = √(R^2 - z^2)
また微小質量は
　dm = ρ(πr^2･dz)
ρはやっぱり密度で、
　ρ = M/{(4/3)πR^3}
で、ここまでの情報だけで、後は解けるハズ。
dzの積分は-R〜+Rであることに注意すれば、
　I = (2/5)MR^2

--単振動 ----------------------------------------------

物体の位置を表す式は
　x = r･sin(ωt+α)
xは半径rの円をy軸に平行な光を当てた時のx軸上の影の位置。

周期　T=2π/ω
周波数　ν=1/T

速度　v = dx/dt = ωr･cos(ωt+α)
加速度a = dv/dt = -ω^2r･sin(ωt+α)
・・・！
　a = -ω^2･y
　F = -mω^2･ｙ
キョリに比例する復元力(引力)が働いてる。

バネについてフックの法則により
　F = -kx
これが単振動を起こすとき
　-k = -mω^2　⇔　ω=√(k/m)
　∴Ｔ = 2π√(m/k)　←ミカン(MiKan)

　m･(d^2x/dt^2) = -kx
が単振動の運動方程式

--単振り子 --------------------------------------------

おもりmに長さlの紐をつけた振り子が鉛直方向に対して
θを成す幅で振れる。θ<<1 (θは0以上で且つ1に比べて極め
て小さい)とする。

おもりの水平向きの位置をxとする。一番下の位置をx=0

接線方向の運動方程式は
　m(d^2x/dt^2) = -mg･sinθ
今θ<<1なので
　sinθ=θと近似でき
弧の長さをx近似すれば
　θ=x/l
を代入して
　m(d^2x/dt^2) = -mgx/l
　⇔　d^2x/dt^2 = (g/l)x
これは単振動の運動方程式と見ることができて
　x = sin(ωt+α)　と表せる。
これを２回微分すれば
　d^2x/dt^2 = -ω^2sin(ωt+α)
なので
ω=√(g/l)であることが分かる。
　Ｔ = 2π√(l/g)　←リンゴ(LinGo)

●なんか適当な形の物体、たとえば円柱が水平に
水に浮いている。重力と浮力がつりあってる状態
から物体をxだけ余計に沈めて手を離す。この後
物体は単振動を起こすわけだが周期とかを研究
してみよ。

水の密度をρとすると
浮力は物体によって押しのけられた水の質量と
考えれるので物体が水の中に体積V入ると
ρVの力で物体は跳ね返る。

--単振動の力学エネルギ --------------------------------

単振動における力学的エネルギーは保存されているだろうか？

解1) 単振動をする物体の位置をxとして
　x = Asin(ωt+a)
　⇒v = ωAcos(ωt+a)

　力学エネルギーは
　F=kxによる位置エネルギEpと運動エネルギEkの和
　Ep = 1/2kx^2
　　　= 1/2･k･A^2･sin^2(ωt+a)
　Ek = 1/2mv^2
　　　= 1/2･m･ω^2･A^2･cos^2(ωt+a)

　ω=√(k/m)　を代入してみると
　Ep + Ek = 1/2･k･A^2　で一定。　//

解2) 単振動の運動方程式
　m(d^2x/dt^2) = -kx
　両辺をv(=dx/dt)倍すると

　mv(d^2x/dt^2) = -kxv
　⇔　mv(dv/dt) = -kx(dx/dt)

　　一般の微分法の話として
　　xの関数fについて
　　f^2をxで微分すると
　　　df^2/dx = 2f(df/dx)
　　この式の(右辺)⇒(左辺)を当てはめる。

　⇔　1/2mv^2 = -1/2kx^2
　⇔　1/2mv^2 + 1/2kx^2 = 0(即ち一定)　//

--ベクトルで復習 --------------------------------------
まず少しベクトルの勉強

a = (a1, a2, a3)とすると
　da/dt = (da1/dt, da2/dt, da3/dt)　…�@
各々の成分を微分すればよい。

a,bはベクトル、λはスカラー(ベクトルではない)tの関数
　d(a+b)/dt = da/dt + db/dt　…�A
　d(λ･a)/dt = (dλ/dt)a + λ(da/dt)　…�B
　d(a･b)/dt = (da/dt)･b + a･(db/dt)　…�C
　d(a×b)/dt = (da/dt)×b + a×(db/dt)　…�D


●vで運動する物体について
|v|が一定の時(等速直線運動や等速円運動など)
v^2はtに関わらず一定なので
　d(v^2)/dt = 0
上の�Cから
　2v･dv/dt = 0
dv/dtというのは加速度ベクトルaなので
これを使うと
　v･a = 0
速度ベクトルと加速度ベクトルの内積がゼロ
⇔2つのベクトルは垂直
　　　が示された。

●物体mに力Fが加わりvで運動する
　F = m･dv/dt
両辺にvを内積で掛ける
　F･v = mv･dv/dt
　　　= 1/2 m･v^2
(力積)=(Ek)
という式が示された。

●角運動量について
　F = m･dv/dt
両辺に位置ベクトルrを外積で左から掛ける。
　r×F = mr×dv/dt
　　　　= d(mr×v)/dt (∵下の証明参考)

　-上の右辺の変換について ---------
　d(r×v)/dt = dr/dt×v + r×dv/dt
　　　　　　　= v×v + r×dv/dt
　　　　　　　= 0 + r×dv/dt
　　　　　　　= r×dv/dt
　---------------------------------

r×FはモーメントベクトルN
mr×vを角運動量ベクトルLで表すと
　N = dL/dt

L = mr×v　(= Iω ∵円運動の節参照)
　r = (x, y, z)
　v = (v1,v2,0)とすると
Lのz成分
Lz = m(x･v2-y･v1)

●面積速度
点Oを中心に適当な運動する物体mの位置を点Pで表す。
OPがt秒で掃くような面積をSとする。

Sの変化率
　Ω=dS/dt
を面積速度と呼ぶ。

Pの位置ベクトルをr
その時の速度ベクトルをv
とすると
�儡 = 1/2r×v�冲
∴Ω=�儡/�冲
　　= 1/2r×v
　　= L/2m　(L=mr×vだから)

Lが一定なら面積速度は一定である。
L = Iω

--万有引力 --------------------------------------------

2物体m1とm2がrだけ離れている。
この二つの間には引力ｆが働いており
　　　　m1･m2
f = G─────
　　　　r^2

物体m2が地球(質量M、半径R)である場合この引力は
重力と呼ばれ、重力はmgのはずである。
物体m1の代わりにmを地球の表面に置いたとき、
　mg = GmM/R^2
　∴重力加速度g = GM/R^2 (≒9.81274±0.00003)

物体mを位置r1からr2まで運ぶ時。
�决 = r2-r1とする。
重力がする仕事は
　W = -∫[r1〜r2]GMm/r^2･dr
　　= -GMm(1/r1 - 1/r2)
重力に対する仕事なのでWには負号がついている。

重力による位置エネルギーをUとした時、
UはWの符号を変えたものであるから(定義)
　U = GMm(1/r1 - 1/r2)

r1を位置エネルギーの基準とし
r2に物体の位置を代入することでr2にある物体の
Epが求まる。

さて基準r1だが、r1=0(地球の中心)とするのはまずい。
都合のいいようにr1→∞(無限遠点)とすると
　1/r1=0
とできて計算が楽になる為これを共通の基準とする。

rの位置にある物体の位置エネルギは
	　 mM
　Ep = -G ──
	　　r
と表せる。

●第一宇宙速度
地球(質量M、半径R)の表面すれすれを物体mが回るのに
必要な速度(地球上から水平に投げた物体mが落ちる事
なく一周して戻ってくる速度)はいくらか？

●第二宇宙速度
地上から真上に物体mを投げ落ちてこない速度(重力から
脱出する速度)はいくらあればよいか？

　===Hint=============
　　遠心力(向心力)mvωと重力GmM/R^2が釣り合えばよい。
　　mvωはmv^2/R
　　GmM/R^2はmg

　　物体が無限遠点に到着してもなお速度v>0、即ちEk>0
　　であればよい。無限遠点の時Ep=0なので、Ek+Ep>0で成立。
　　Ek+Epはいつも一定で当然初期の状態のEk+Epと等しい。
　====================


　===上二つの答え=====
　　　　√gR
　　　√(2gR)
　====================
--波 --------------------------------------------------




=======================================================

==他に ================================================

--E=mc^2の話 ------------------------------------------

質量2mの光の粒がx軸上を正の向きに速度cで運動している。
今、この粒が質量mを失った(=質量mになった)時
速度vでx軸上を正の向きに運動したとする。

運動量(質量*速度)の保存則によって
mc = (m/2)v
∴v=2c

今質量を失う前後で運動エネルギーEkは
mc^2から2mc^2に変化し、つまりmc^2増加したことになる。

因みにアインシュタインこれを
『質量 m[kg] がエネルギー mc^2[J] に変換された』と考えた。

==========================================================
=							==
==							 =
=							==
==					(c)Kero's World	 =
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