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==力学 ================================================

--保存量 ----------------------------------------------

vで動くmに力Fを加えるとv'になった。
加速度はa=F/m
微小時間冲秒だけ力が加わったとすれば
 v'=v+(F/m)・冲
両辺にmを掛けて
 mv' - mv = F・冲
mvを運動量
Ftを力積と定義する。
「増加した運動量は加えられた力積に等しい」

2つの物体m1とm2が衝突した。
速度はそれぞれv1,v2から衝突後v1',v2'になった
与えられた力は作用・反作用の法則から
m1に力Fが加わったならm2には-F加わる。
 m1・v1 + F・冲 = m1・v1'
 m2・v2 - F・冲 = m2・v2'
2式を足すと
 m1v1+m2v2=m1v1'+m2v2'
よって、運動量の合計は保存される。

--質量中心 ---------------------------------------------

2物体m1とm2の位置ベクトルをそれぞれr1,r2とする。
コレの重心を考える。
重心の質量はm1+m2で位置ベクトルは
	m1・r1 + m2・r2
rc = ──────────
	  m1 + m2
この位置ベクトルを重み付き重心とも言う。
この式を時間tで微分すれば、
位置ベクトルrが速度ベクトルvになり、
	m1・v1 + m2・v2
vc = ──────────
	  m1 + m2
そして
m1・v1 + m2・v2は外力が加わらなければ一定なので
vcは一定。
また、両辺に(m1+m2)を掛ければ
 (m1+m2)vc = m1v1+m2v2
m1+m2を重心の質量と考えることができる。

--仕事 ------------------------------------------------

vで動くmにFが加わってv'になり、それまでに微小距離决動いた
とする。
 mv'-mv = F冲 ⇔ m(v'-v)/冲 = F
が成り立つので(運動量の節を参照)
 W = F决
  = m(决/冲)(v'-v)

冲が微小であることに注意して
 决/冲 = (v'+v)/2 前後の速度の平均

代入して
W = m(v'+v)(v'-v)/2
 =(1/2)mv'^2 - (1/2)mv^2
加わった仕事だけ運動エネルギは増加する。

Wを仕事
Ek = 1/2mv^2を運動エネルギ
と定義する。
因みにP=W/冲を仕事率という。

--位置エネルギー ---------------------------------------

まず例として重力を取り上げる。

重力によって、物体mをhの高さまで持ち上げる仕事は
-mgを0からhまでdxで積分して
 W = ∫[0〜h]-mg・dx
  = -mgh
物体を持ち上げる方向と重力がかかる方向は逆である
からWにはマイナスがついている。
 「仕事の符号を変えたものを位置エネルギーとする。」
-W=mghを位置エネルギーEpと定義する。

バネが自然長からx伸びたときkxの力が逆向きにかかるから
自然長よりh伸ばす(縮ませる)のにかかる仕事は
 W = ∫[0〜h]-kx・dx
  = -1/2kh^2
-W即ち1/2kh^2をバネによる位置エネルギーEdと定義する。
特にバネの場合は弾性力によるものなので
弾性エネルギーと呼ぶ場合もある。

--力学的エネルギ --------------------------------------

ある物体mには一定の力Fがかかっている。
今、物体が位置rにある時、Fによる位置エネルギーを
U(r)で表す。
mに力fをさらに加えると
r1にある時v1で動き、r2にある時v2で動いたとする。
Ekの増加はかかった仕事に等しいはずだから
 1/2m(v2^2 - v1^2) = (F+f)(r2-r1)

U(r2)-U(r1)=-F(r2-r1) だから(符号注意)
これを代入して
{1/2mv2^2 + U(r2)} = {1/2mv1^2 + U(r1)} + f(r2-r1)

{Ek+Ep}を力学エネルギー定義する。

--反発係数 --------------------------------------------

同一直線上を2つの物体m1,m2がそれぞれv1,v2で運動している。
速度は右向きに正、と揃えておく。
やがて衝突し、その後v1',v2'になったとする時、
	v1-v2
e = - ─────
	v1'-v2
速度の差の比を取るが、
v1とv2の大小は衝突後変化するのでマイナスを付けて
e≧0としている。一般にe≦1も満たしている。
e=0の時、完全非弾性衝突
e=1の時、(完全)弾性衝突 と呼ぶ。

衝突の前後で
・運動量の保存則
・運動エネルギの保存
の2式を解くことで2変数v1',v2'の解が求まる。
大変なので計算はしない。で、次が大事。

運動エネルギの和を次のように変形する。
Ek = 1/2・m1・v1^2 + 1/2・m2・v2^2
	= 1/2(m1+m2)・vc^2 + 1/2(m*)・(v1-v2)^2

vcは質量中心(質量中心の節を参照)の速度で
 vc=(m1v1+m2v2)/(m1+m2)
1/2(m1+m2)・vc^2は質量中心(重心)の運動エネルギで
Ec並進運動エネルギーと言う。
m1v1+m2v2は一定だからEcも一定。衝突に関わらない。

m*は換算質量といい
 m* = m1・m2/(m1+m2)
1/2m*・(v1-v2)^2は相対速度|v1-v2|にのみ依存し
Er相対運動エネルギーと言う。
(v1-v2)が衝突後-e倍になるので
Erは衝突後e^2倍になる。

-m*についてもうちょいkwsk ---------
Erについてm*はなにかの質量として
働いてるが実際どうだろう。

2物体m1,m2が衝突しm1にF,m2に-Fの力が
加わった。それぞれ加速度a1,a2とする。
m1a1 = F
m2a2 = -F
∴a1-a2 = F/m1 + F/m2
	= F/m*
 ⇔F = m*・(a1-a2)

運動方程式(F=ma)に当てはめてもm*は
質量として働いている。
-----------------------------------

●例題
質量Mの台車が床の上にあり、台車の上には物体mがある。
mとMとの摩擦係数をμとする。
ある瞬間、mがMの上をvで動き、Mは停止していたとする。
mはMの上をxだけ進みMに対して止まった。

解)初め、相対エネルギErは
Ec = 1/2(m*)・(v-0)^2
  = (m*)・v^2/2

mがMに対して止まった時、Erはゼロだから
Erは全て摩擦による仕事に変わったはずである。

摩擦力はμmgだから
W = μmgx

これが1/2(m*)・v^2に等しく、
x = (m*)・v^2/2μmg
但しm* = m・M/(m+M) //

--質量中心系 -------------------------------------------

位置ベクトルr1,r2にある2物体がv1,v2で動いてる。
この物体を質量中心から見たとき、
・u1 =v1-vc
・u2 =v2-vc
という速度で運動している。
運動量の和は
 m1・u1 + m2・u2 = (m1v1-m1vc)+(m2v2-m2vc)
          = m1v1+m2v2-(m1+m2)vc
vc = (m1v1+m2v2)/(m1+m2)
であることを思い出せば
これはゼロであることが分かる。

もちろん質量中心系において、
一直線上でu1,u2で動く2物体が衝突した時、
衝突後の速度は?

--円運動 -----------------------------------------------

物体が点Oを中心に円を描いて運動している。

角速度 ω=dθ/dt
幾何学的関係から
v = rω

速度vで運動していて冲後にv'で運動したとする。
况 = v'-v
	= vω冲
∴a = 况/冲
  = vω
かかる力は
F = ma
 = mvω
これを向心力といい、常に中心を向いている。


/***
ベクトル况が想像できない時は自分で図を書いてみると
いいだろう。

・点Oを中心とする半径rの円(物体の運動軌跡)を書く。
・円上のある点に物体がある時のvベクトルを書く。
 このベクトルは円に接するはず。
・その点から冲秒後の点は、どこだろう。
 ω冲の角度だけ進んだ所の円上の点となる。
・その時のv'ベクトルを書く。やはりその点で円に接する。
・vベクトルとv'ベクトルはどの程度ずれてるだろう。
 試しにv'ベクトルを平行移動して
 2つのベクトルの始点を揃える。
・幾何的にvとv'の成す角度はω冲。
 况はvの終点からv'の終点を繋いだベクトル。
 このベクトルは半径vで角度ω冲の扇の弧と近似できる。
						***/

円運動するmがある点でvで動いてるとき
(円に対して)接線方向の加速度 ar = dv/dt =r・dω/dt
法線加速度 an = vω

●半径Rの円状の床、例えば大きな円柱を横に倒して
その頂点Aにmの物体を静かに乗せると、しずかに転がり
やがて床から離れた。床の円の中心をOとして物体の位置
を点Pとする角度∠AOP=θを成した時物体は床から離れるか。

解)適当なθについて
物体の
 接線加速度をar
 法線加速度をan
床からの垂直抗力N

N=0となるのがギリギリ物体が床から離れるかどうかの状態。

接線向きと法線向きの運動方程式
 m・ar = mg・sinθ
 m・an = mg・cosθ-N …@

また円運動の性質から
ar = dv/dt
an = vω =rv^2 (= ω^2/r) …A

力学エネルギーから(失ったEp=Ek)
mgR(1-cosθ) = 1/2・m・v^2 …B

Bからv^2が求まりAに代入することでanが求まり
それを@に代入してNが求まる。
N=0となるθが求まる。

●木かなんかで出来た直方体からまっすぐに
半径Rの円柱をくりだす。空いた円の穴の下にmをvで運動させ
円を上らせる。どこで床(壁?)から離れその後どういう運動
をするか。

解)略

--回転運動の運動方程式 --------------------------------

点Oを中心にr離れたところをvで動く物体mにかかっている
力のモーメントは
N = rF
 = rma
 = rm(dv/dt)
 = m・r^2(dω/dt)
今、m・r^2をIとする。このIを慣性モーメントと呼ぶ。
 N = I・dω/dt
これが回転運動における運動方程式。

-うわーい。比較表 ---------------
+----------+------------+
| 直線運動 | 回転運動  |
+- --------+-  ---------+
|F=m・dv/dt | N=I・dω/dt |
+==========+============+
|  m   |  I    |
|  F   |  N    |
|  v   |  ω   |
|  mv  | Im(=L)  |
| 1/2mv^2 | 1/2Iω^2 |
+----------+------------+

角度θの床の上を半径rの円柱が転がる。
床との摩擦力をfとする。
速度vで転がってる時、次の3式が成立する。

@斜面平行方向に dv/dt = r・dω/dt
A直線運動方程式 m・dv/dt = mg・sinθ-f
B回転運動方程式 N=rf = I・dω/dt

Aからfが求まりそれをBに代入しdω/dtが求まり
それを@に代入するとdv/dtが求まる。Iはmr^2。
t=0でv=0とすればv=at=t・dv/dt
●失われたEpとEkの和(直線と回転)は等しいか?
解)もちろん等しいです。計算してみてください。

--慣性モーメントIについてもう少しkwsk-----------------

○質量mの「一質点」がある点の周りを半径rの円周上
を回転運動する時の慣性モーメントI=mr^2
というのが定義。
	----------
○同一円周上の半径rと半径Rの円周上を回転する
2質点mとMを併せた系のIを考える。
回転する速度ωが同じであるから。
N = rF + RF'
 = rma + RMa'
 = rm(r・dω/dt) + RM(R・dω/dt)
 = (mr^2 + MR^2)・dω/dt
よって
I=mr^2+MR^2 である。
	----------
○同様にして幾つかの質点(質量m[i], 回転する円の半径r[i])
が同じ角速度で回転する系のIは
 I = Σm[i]r^2[i]
である。
Iは回転軸からの距離rに依存するから、回転軸の取り方に
よってIは変わる。一般に重心を通る軸の時Iは最小。

質点ではなくて連続したもの、つまり普通の立体なら
Σが、∫になる。やってみる。
	----------
○半径r、質量Mのリング状の物体のIを考える。回転軸はリング
の中心を通り垂直とする。リングの太さは考えないでみる。

解)この物体をN個の微小部分に分ける。
一つの微小部分は質量dmの質点と見なせるから、その質点の
"微小"慣性モーメントはdI=dmr^2
∴I = ∫dI
  = ∫dmr^2
  = Mr^2
	----------
○半径R、高さh、質量Mの円柱について考える。回転軸は底面
の円の中心を通り垂直とする。

解)回転軸からキョリをrとする。rでの厚さdrの筒状の微小
物体に分ける。(図が無いとか不親切ですね)
その微小物体の微小慣性モーメントはリング状であるのに注意
して、
 dI = dm・r^2
微小物体の微小質量はrによって違うので注意が必要である。
この円柱の密度をρとしたら
 ρ= M/(π・R^2・h)
これを使って
 dm = ρ(2πr・dr・h)
よって
 I = ∫dI
  = ∫dm・r^2
  = ∫2ρπhr^3・dr
展開して解くと
 I = (1/2)MR^2

やった!hが入ってないよ!hが増えればMが増えるから当然だね。
微小部分の区分方法を変えてみても面白い。
	----------
○半径R、質量Mの球を考える。回転軸は球の中心を通る。

解)回転軸にx軸を置く。球の中心がx=0。
回転軸の垂直な向きに厚さdxで薄〜く輪切りに区分する。
微小部分の微小慣性モーメントは円柱だから
 dI = dm・r^2/2
微小円柱の半径をrと勝手に置いたが
 r = √(R^2 - z^2)
また微小質量は
 dm = ρ(πr^2・dz)
ρはやっぱり密度で、
 ρ = M/{(4/3)πR^3}
で、ここまでの情報だけで、後は解けるハズ。
dzの積分は-R〜+Rであることに注意すれば、
 I = (2/5)MR^2

--単振動 ----------------------------------------------

物体の位置を表す式は
 x = r・sin(ωt+α)
xは半径rの円をy軸に平行な光を当てた時のx軸上の影の位置。

周期 T=2π/ω
周波数 ν=1/T

速度 v = dx/dt = ωr・cos(ωt+α)
加速度a = dv/dt = -ω^2r・sin(ωt+α)
・・・!
 a = -ω^2・y
 F = -mω^2・y
キョリに比例する復元力(引力)が働いてる。

バネについてフックの法則により
 F = -kx
これが単振動を起こすとき
 -k = -mω^2 ⇔ ω=√(k/m)
 ∴T = 2π√(m/k) ←ミカン(MiKan)

 m・(d^2x/dt^2) = -kx
が単振動の運動方程式

--単振り子 --------------------------------------------

おもりmに長さlの紐をつけた振り子が鉛直方向に対して
θを成す幅で振れる。θ<<1 (θは0以上で且つ1に比べて極め
て小さい)とする。

おもりの水平向きの位置をxとする。一番下の位置をx=0

接線方向の運動方程式は
 m(d^2x/dt^2) = -mg・sinθ
今θ<<1なので
 sinθ=θと近似でき
弧の長さをx近似すれば
 θ=x/l
を代入して
 m(d^2x/dt^2) = -mgx/l
 ⇔ d^2x/dt^2 = (g/l)x
これは単振動の運動方程式と見ることができて
 x = sin(ωt+α) と表せる。
これを2回微分すれば
 d^2x/dt^2 = -ω^2sin(ωt+α)
なので
ω=√(g/l)であることが分かる。
 T = 2π√(l/g) ←リンゴ(LinGo)

●なんか適当な形の物体、たとえば円柱が水平に
水に浮いている。重力と浮力がつりあってる状態
から物体をxだけ余計に沈めて手を離す。この後
物体は単振動を起こすわけだが周期とかを研究
してみよ。

水の密度をρとすると
浮力は物体によって押しのけられた水の質量と
考えれるので物体が水の中に体積V入ると
ρVの力で物体は跳ね返る。

--単振動の力学エネルギ --------------------------------

単振動における力学的エネルギーは保存されているだろうか?

解1) 単振動をする物体の位置をxとして
 x = Asin(ωt+a)
 ⇒v = ωAcos(ωt+a)

 力学エネルギーは
 F=kxによる位置エネルギEpと運動エネルギEkの和
 Ep = 1/2kx^2
   = 1/2・k・A^2・sin^2(ωt+a)
 Ek = 1/2mv^2
   = 1/2・m・ω^2・A^2・cos^2(ωt+a)

 ω=√(k/m) を代入してみると
 Ep + Ek = 1/2・k・A^2 で一定。 //

解2) 単振動の運動方程式
 m(d^2x/dt^2) = -kx
 両辺をv(=dx/dt)倍すると

 mv(d^2x/dt^2) = -kxv
 ⇔ mv(dv/dt) = -kx(dx/dt)

  一般の微分法の話として
  xの関数fについて
  f^2をxで微分すると
   df^2/dx = 2f(df/dx)
  この式の(右辺)⇒(左辺)を当てはめる。

 ⇔ 1/2mv^2 = -1/2kx^2
 ⇔ 1/2mv^2 + 1/2kx^2 = 0(即ち一定) //

--ベクトルで復習 --------------------------------------
まず少しベクトルの勉強

a = (a1, a2, a3)とすると
 da/dt = (da1/dt, da2/dt, da3/dt) …@
各々の成分を微分すればよい。

a,bはベクトル、λはスカラー(ベクトルではない)tの関数
 d(a+b)/dt = da/dt + db/dt …A
 d(λ・a)/dt = (dλ/dt)a + λ(da/dt) …B
 d(a・b)/dt = (da/dt)・b + a・(db/dt) …C
 d(a×b)/dt = (da/dt)×b + a×(db/dt) …D


●vで運動する物体について
|v|が一定の時(等速直線運動や等速円運動など)
v^2はtに関わらず一定なので
 d(v^2)/dt = 0
上のCから
 2v・dv/dt = 0
dv/dtというのは加速度ベクトルaなので
これを使うと
 v・a = 0
速度ベクトルと加速度ベクトルの内積がゼロ
⇔2つのベクトルは垂直
   が示された。

●物体mに力Fが加わりvで運動する
 F = m・dv/dt
両辺にvを内積で掛ける
 F・v = mv・dv/dt
   = 1/2 m・v^2
(力積)=(Ek)
という式が示された。

●角運動量について
 F = m・dv/dt
両辺に位置ベクトルrを外積で左から掛ける。
 r×F = mr×dv/dt
    = d(mr×v)/dt (∵下の証明参考)

 -上の右辺の変換について ---------
 d(r×v)/dt = dr/dt×v + r×dv/dt
       = v×v + r×dv/dt
       = 0 + r×dv/dt
       = r×dv/dt
 ---------------------------------

r×FはモーメントベクトルN
mr×vを角運動量ベクトルLで表すと
 N = dL/dt

L = mr×v (= Iω ∵円運動の節参照)
 r = (x, y, z)
 v = (v1,v2,0)とすると
Lのz成分
Lz = m(x・v2-y・v1)

●面積速度
点Oを中心に適当な運動する物体mの位置を点Pで表す。
OPがt秒で掃くような面積をSとする。

Sの変化率
 Ω=dS/dt
を面積速度と呼ぶ。

Pの位置ベクトルをr
その時の速度ベクトルをv
とすると
儡 = 1/2r×v冲
∴Ω=儡/冲
  = 1/2r×v
  = L/2m (L=mr×vだから)

Lが一定なら面積速度は一定である。
L = Iω

--万有引力 --------------------------------------------

2物体m1とm2がrだけ離れている。
この二つの間には引力fが働いており
    m1・m2
f = G─────
    r^2

物体m2が地球(質量M、半径R)である場合この引力は
重力と呼ばれ、重力はmgのはずである。
物体m1の代わりにmを地球の表面に置いたとき、
 mg = GmM/R^2
 ∴重力加速度g = GM/R^2 (≒9.81274±0.00003)

物体mを位置r1からr2まで運ぶ時。
决 = r2-r1とする。
重力がする仕事は
 W = -∫[r1〜r2]GMm/r^2・dr
  = -GMm(1/r1 - 1/r2)
重力に対する仕事なのでWには負号がついている。

重力による位置エネルギーをUとした時、
UはWの符号を変えたものであるから(定義)
 U = GMm(1/r1 - 1/r2)

r1を位置エネルギーの基準とし
r2に物体の位置を代入することでr2にある物体の
Epが求まる。

さて基準r1だが、r1=0(地球の中心)とするのはまずい。
都合のいいようにr1→∞(無限遠点)とすると
 1/r1=0
とできて計算が楽になる為これを共通の基準とする。

rの位置にある物体の位置エネルギは
	  mM
 Ep = -G ──
	  r
と表せる。

●第一宇宙速度
地球(質量M、半径R)の表面すれすれを物体mが回るのに
必要な速度(地球上から水平に投げた物体mが落ちる事
なく一周して戻ってくる速度)はいくらか?

●第二宇宙速度
地上から真上に物体mを投げ落ちてこない速度(重力から
脱出する速度)はいくらあればよいか?

 ===Hint=============
  遠心力(向心力)mvωと重力GmM/R^2が釣り合えばよい。
  mvωはmv^2/R
  GmM/R^2はmg

  物体が無限遠点に到着してもなお速度v>0、即ちEk>0
  であればよい。無限遠点の時Ep=0なので、Ek+Ep>0で成立。
  Ek+Epはいつも一定で当然初期の状態のEk+Epと等しい。
 ====================


 ===上二つの答え=====
    √gR
   √(2gR)
 ====================
--波 --------------------------------------------------




=======================================================

==他に ================================================

--E=mc^2の話 ------------------------------------------

質量2mの光の粒がx軸上を正の向きに速度cで運動している。
今、この粒が質量mを失った(=質量mになった)時
速度vでx軸上を正の向きに運動したとする。

運動量(質量*速度)の保存則によって
mc = (m/2)v
∴v=2c

今質量を失う前後で運動エネルギーEkは
mc^2から2mc^2に変化し、つまりmc^2増加したことになる。

因みにアインシュタインこれを
『質量 m[kg] がエネルギー mc^2[J] に変換された』と考えた。

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==					(c)Kero's World	 =
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