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土地分割。

ルール
示す図を各々に与えられる条件に沿うように分割する境界を求める。
但し、用いてよい道具は定規のみ。定規は2定点を結ぶ直線かその一部を書くのに使える。


このページの書き方
一つ一つの問題の直下にその答えを書いている。 解答の際、誤って答えを見るのを防ぐ工夫は無いので註意。

画像の表示にはdataスキームを使っている。ブラウザに バージョン7以前のInternetExplorerを使ってると見れない。どんまい。

(0)基礎

一辺2aの正方形の一角から一辺aの正方形を除いた凹六
角形。同じ面積の4つの図形に分割せよ。




(0)答え

図のように六角形の頂点にA~Fとする。 ABをBの方に延長する。2点A,Bを結ぶ直線を書けば良い
ので、"延長"は定規の正しい使い方である。
またCBをBの方に延長する。3つの合同な正方形を作り
それぞれの対角線を書くと12つの合同な三角形ができ
るので3つずつ分配して完成(太線で示した)。



(1)基礎
長方形の図形を2つの合同な長方形に分割せよ。



(1)答え
長方形の2本の対角線の交点は長方形の中点。

線分ABとそれに平行な直線がある時、ABの中点が以下の
のように求まる。つまり、線の外に任意の点Cを取り、
引ける線を引いてって図の点MがABの中点。

よって長方形の中点とMとを結んだ直線が求めるもの。




以下は応用問題であり、(0)と(1)を公理のように用いる。

(2)

一辺aの正方形の一辺と直角を挟む二辺がaである直角二
等辺三角形のaの辺とを、2つの図形が重ならないように
一致させた図形。面積の等しい4つの図形に分割せよ。




(2)答え

AB,DCを延長した交点Eを取る。
AC,BDの交点とEを結んだ直線とBCの交点FはBCの中点、
ADとの交点GはADの中点
AF⊥BCである。四角形AFCDは正方形でこの中点Oをとる。
AFとBDの交点HはAFの中点。
よって以下のように結び完成。




(3)

正方形ABCDに図のようにT1~T12の位置に辺ABの長さに
比べ十分小さな木を一本ずつ植える。
この正方形を4つの合同な図形で、また同じ株数の木が
あるように分割せよ。
但し木は分割できず(境界線がまたぐなら分割される)、
・T1~T4はそれぞれ限りなくA~Dに近く、
・T5~T8はそれぞれ限りなくAB,BC,CD,DAの中点に近く、
・T9~T12は正方形の中点よりそれぞれA~Dに寄っている。
伝ワッテマスカ?




(3)答え
AB//CDよりAB,CDの中点、また同様にCB,DAの中点をとる。
AB,BC,CD,DAの中点をそれぞれE,F,G,Hとする。適当に結ぶ
ことで二列二行の4つの正方形に分割できる。
ここからT5~T8を避けることを考える。

AE//CDからAEの中点、EO//DAからEOの中点をとれ、
それぞれ結んだ線分が上図の太線。
そしてこれをあと三回繰り返すと下図。