「n枚」という結果が得られる確率p(n)を直接求めてみる。 ●n<Nの時、N枚のカードから、(n+1)枚を選び(NCn+1通り)、数の小さい順に並べ(1通り)てみる。 例)n=6,「2,5,7,8,11,12,23」 この中から一番大きなもの以外のn枚から一枚選び(n通り)、それを一番右に置く。 例)「2,5,8,11,12,23,7」 このカードを左から順番に引く(もちろん無作為に)ものは題意を満たし、そして全ての場合を尽くす。 そして、これらは NCn+1・1・n = n・NCn+1通り である。 今求めたいのは確率で何通りかではない。ので、全通り(題意を満たさない物も含む何通り)はN枚から(n+1)枚を順番に引くので、 NPn+1通り ∴p(n) = {n・NCn+1}/{NPn+1} = n / (n+1)! ●n=Nの時、これはN枚のカードを小さいものから順番に選んだ場合、つまり唯一通りであり、 p(N) = 1 / N! 以上から 期待値m = Σ[n=1〜N-1]n・p(n)+N・p(N) = Σ[n=1〜N-1]n2/(n+1)! + 1/(N-1)! …@ 今、p(n)は全ての場合を尽くした確率であるから、当然 Σp = 1 となるはずである。pの式を代入して、 1 = Σ[n=1〜N-1]n/(n+1)! + 1/N! コレを@式に各辺代入する。 分数だらけの式なので、分母が同じものを暗算した。 m+1 = Σ[n=1〜N-1]n(n+1)/(n+1)! + 1/(N-1)! + 1/N! = Σ[n=1〜N-1]1/(n-1)! + 1/(N-1)! + 1/N! = Σ[k=0〜N]1/k! ∴m = Σ[k=0〜N]1/k! - 1 よってk→∞に飛ばすと、m→e-1 eはネイピア数であり、e-1 = 1.718281828・・・
(c)Kero's World author;REM 2009 5/30