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日記 intime o'

ドロピタルの定理 - 数学 2007/12/6(Tue.)
de l'Hospitalの定理(和名: 退院の定理)

実数 a , bと関数f(x)について
lim
a→b
f(a) - f(b)
g(a) - g(b)
=
f'(a)
g'(a)
[証明] H(x) = (f(x) - f(b) ) - k・(g(x) - g(b) ) とおく。  H(a) = H(b) = 0 であるので 平均値の定理より、  H'(c) = 0 となるcがaとbの間に存在する。 即ち  f'(c) - k・g'(c)=0 移項して  k = f'(c)/g'(c) また  H(a) = H(b) = 0 より、中間値の定理より  H(h) = 0 となるhがaとbの間に存在する。 H(h) = 0 ⇔ (f(h) - f(b) ) - k・(g(h) - g(b) ) = 0 ⇔ (f(h) - f(b) ) - (f'(c)/g'(c) )・(g(h) - g(b) ) = 0 ⇔ (f(h) - f(b) )/(g(h) - g(b) ) = f'(c)/g'(c) ・・・① 今、a→bとすると、 c,hはa,bの間にあるので、c→b, h→b よって①は証明する式になる。

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