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日記　intime o'

ドロピタルの定理 - 数学 2007/12/6(Tue.)

de l'Hospitalの定理(和名: 退院の定理)

実数 a , bと関数f(x)について
lim
a→b
f(a) - f(b)
g(a) - g(b)
 = 
f'(a)
g'(a)
[証明]
H(x) = (f(x) - f(b) ) - k･(g(x) - g(b) )
とおく。
　H(a) = H(b) = 0
であるので
平均値の定理より、
　H'(c) = 0
となるcがaとbの間に存在する。
即ち
　f'(c) - k･g'(c)=0
移項して
　k = f'(c)/g'(c)

また
　H(a) = H(b) = 0
より、中間値の定理より
　H(h) = 0
となるhがaとbの間に存在する。

H(h) = 0
⇔ (f(h) - f(b) ) - k･(g(h) - g(b) ) = 0
⇔ (f(h) - f(b) ) - (f'(c)/g'(c) )･(g(h) - g(b) ) = 0
⇔ (f(h) - f(b) )/(g(h) - g(b) ) = f'(c)/g'(c)　･･･①

今、a→bとすると、
c,hはa,bの間にあるので、c→b, h→b
よって①は証明する式になる。

コメ(0) | トラ(0)

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