日記 intime o'
log(x)/xの極限(x→∞) - 数学 2010/3/22(Mon.)f(x) = log(x)/x についてタイトル通りの極限を求める。 ざっと3通り見つけた。 ①logは弱い。よって分母x→∞に負けるので 結局f(x)→1/∞＝0 ②ド・ロピタルの定理。 lim[x→∞]log(x)/x = lim (1/x)/1 = 0 ③オリジナル（少しインチキ臭い） 直線 y=ax+b g(x) = y-log(x) g'(x) = a-1/x ∴g'(x)=0 ⇔ x=1/a (g(x)の定義からx>0.だからa>0としよう。) g(x)≧g(1/a) = log(a)+b+1 即ち、log(a)+b+1 > 0 ⇔ g(x)>0 ⇔ y>log(x) x→∞の極限を考える時、当然x<1と考えて構わないから 0 < log(x)/x ≦ y/x = a+b/x (a,bは上の範囲の時) ここで任意ε>0について全てのxでε<log(x)/xと仮定する。 a = ε/2 b = -1-log(a) = -1-log(ε/2) とすると、コレを代入して a+b/x→a=ε/2 (x→∞の時) log(x)/x < ε/2 となり、これは仮定に反する。 だから仮定がおかしいんだよ！ つまり∀ε<0:「0<log(x)/x≦ε」であり、 ε→+0に飛ばしても成り立つのだから lim[x→∞]log(x)/x=0.
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