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日記 intime o'

log(x)/xの極限(x→∞) - 数学 2010/3/22(Mon.)
f(x) = log(x)/x
についてタイトル通りの極限を求める。
ざっと3通り見つけた。

①logは弱い。よって分母x→∞に負けるので
結局f(x)→1/∞=0

②ド・ロピタルの定理。
lim[x→∞]log(x)/x = lim (1/x)/1 = 0

③オリジナル(少しインチキ臭い)
直線 y=ax+b
g(x) = y-log(x)
g'(x) = a-1/x
∴g'(x)=0 ⇔ x=1/a (g(x)の定義からx>0.だからa>0としよう。)
g(x)≧g(1/a) = log(a)+b+1
即ち、log(a)+b+1 > 0 ⇔ g(x)>0 ⇔ y>log(x)

x→∞の極限を考える時、当然x<1と考えて構わないから
0 < log(x)/x ≦ y/x = a+b/x (a,bは上の範囲の時)
ここで任意ε>0について全てのxでε<log(x)/xと仮定する。
a = ε/2
b = -1-log(a) = -1-log(ε/2)
とすると、コレを代入して
a+b/x→a=ε/2 (x→∞の時)
log(x)/x < ε/2 となり、これは仮定に反する。
だから仮定がおかしいんだよ!
つまり∀ε<0:「0<log(x)/x≦ε」であり、
ε→+0に飛ばしても成り立つのだから
lim[x→∞]log(x)/x=0.

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