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日記 intime o'

微分の基本 2010/3/12(Fri.)
微分の基本。
微分することを微分と呼称し、微分するとは関数から導関数を作ることで
ある。xについての関数yをy=f(x)と書くとき、一般的にこれをxで微分した
導関数をf'(x)と書く。

微分の代数的定義。
f'(x)=lim[h->0]{f(x+h)-f(x)}/h

微分の幾何的定義。
y=f(x)のグラフ上の点(x,f(x))における接線の傾きはf'(x)で示される。
これは直感的に代数的定義と同値である。

代数的定義の式におけるh->0が+0と-0で値が違う場合(=グラフが
なめらかでない場合)微分が不可能、として諦める。
逆に+0,-0で値が同じ時、微分可能(なめらかに連続)であり代数的定義
を用いることができる。

f(x)=x^n (xのn乗):自然数n
f'(x) = nx^(n-1)
[証明]二項定理で展開。以上。(/証明終)

(対数って、微分より先に習うっけ?)

f(x)=log(x)
f'(x)=lim {log(x+h)-log(x)}/h = lim log{(1+h/x)^(1/h)}
=lim log{(1+h/x)^(x/h)^(1/x)}=lim (1/x)log{(1+h/x)^(x/h)}
ここで
lim[h->0](1+h)^(1/h)=e
⇔lim (1+h/x)^(x/h)=e (∵xは有限の実数だし)
を代入して
f'(x)=(1/x)log(e)=1/x

f(x)=x^α(xのα乗):実数α
f'(x)=αx^(α-1)
[prov]
f(x)=x^α<=>log{f(x)}=αlog(x)
<=>f'(x)/f(x)=α/x
<=>f'(x)=αf(x)/x=αx^(α-1);//同考えても”基本”じゃないな。。。
(/終り)

さてここで
(x^α)'=αx^(α-1) <=> (x^α/α)'=x^(α-1)
(log(x))'=x^-1  (=1/x)
を見比べてα=0を代入すれば、とりあえず右辺のxの次数が揃う。
ただしそのまま代入すると0で割ることになるからおかしい。
どう考えたらいいか。。。
αを0に限りなく近づければいいのではないか、と。

仮定:『lim[h->0]x^α/α = log(x)』
f(t)=x^t とすると
f'(t)=(x^t)'=(e^(log(x)t))'=log(x)e^(log(x)t)=log(x)x^t
また
f'(0)=log(x)x^0=log(x)
f'(0)=limh->0] {x^h-x^0}/h= lim (x^h/h - 1/h)
=lim x^h/h - ∞
∴log(x) = lim x^h/h - ∞

ちょっとちがった。

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