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日記　intime o'

畳み込み関数 - 数学 2007/4/30(Mon.)

2つのxについての関数f(x), g(x)について、
h(t)=∫[0～t]f(x)g(t-x)･dx
をfとgの畳み込みといい
h=f*gと表す。
定義から、交換法則
	f*g=g*f
が成り立つ。


また、ラプラス変換Lについて、次の定理が成り立つ。
L{f*g} = L{f}･L{g}

[証明]
L{f*g}=∫[0～∞]e-st ∫[0～t] f(x)g(t-x)･dx･dt
ここで、
u=x, u+v=t
とおくと、
L{f*g} = ∫[0～∞] ∫[0～t]e-st f(x)g(t-x)･dx･dt
	= ∬[0～∞] e-s(u+v) f(u)g(v)･du･dv
	= ∫[0～∞] e-suf(u)･du ×∫[0～∞] e-svg(v)･dv
	= L{f}･L{g}　(/証明終)

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