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日記 intime o'

畳み込み関数 - 数学 2007/4/30(Mon.)
2つのxについての関数f(x), g(x)について、
h(t)=∫[0~t]f(x)g(t-x)・dx
をfとgの畳み込みといい
h=f*gと表す。
定義から、交換法則
	f*g=g*f
が成り立つ。


また、ラプラス変換Lについて、次の定理が成り立つ。
L{f*g} = L{f}・L{g}

[証明]
L{f*g}=∫[0~∞]e-st[0~t] f(x)g(t-x)・dx・dt
ここで、
u=x, u+v=t
とおくと、
L{f*g} = ∫[0~∞][0~t]e-st f(x)g(t-x)・dx・dt
	= ∬[0~∞] e-s(u+v) f(u)g(v)・du・dv
	= ∫[0~∞] e-suf(u)・du ×∫[0~∞] e-svg(v)・dv
	= L{f}・L{g} (/証明終)

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