日記 intime o'
A君登場 - 数学 2009/7/7(Tue.)訳者註. piとは円周率πのことです。打つのが面倒だったんです。 置換すればいいよとアドバイスしたのですが無視されました。 彼なりのこだわりみたいです。 "A君"とは問題をしょっちゅう間違うことで有名な人物の名前です。 大学入試の数学テストで『この問題をA君は次のように解いた。 どこが間違っているのか指摘しなさい。』という決め台詞と共に 登場するのがお決まり。次のような値域[-pi,pi]で定義されるf(x)を定義する。 -pi≦x<-1/mと1/m<x≦pi で、f(x)=0 x=-1/m,1/m で f(x)=m/2 -1/m<x<1/m で f(x)=m のmをn→∞よりも強く∞に飛ばす(lim[m→∞,n→∞]m/n=∞)。 f(x)をフーリエ展開する。これは偶関数なので余弦フーリエ展開 f(x)～a[0]/2+Σ[n=1～∞]a[n]･cos(nx) を用いる。 a[0]†=(1/pi)∫[-pi～pi]f(x)dx=1/pi→1/pi=a[0] (m→∞) a[n]†=(1/pi)∫[-pi～pi]f(x)cos(nx)dx =(1/pi)∫[-1/m～1/m]m･cos(nx)dx =2(m/n)sin(n/m)/pi→2/pi=a[n](m→∞) 、と各係数は収束して、これを代入すれば f(x)=(1/2pi)+(2/pi)Σcos(nx) x=piの時、 初めの定義からf(pi)=0 また先のフーリエ級数に代入してみると f(pi)=(1/2pi)+(2/pi)(-1+1-1+1-…) ∴1/4=-(-1+1-1+1-…) どっかで間違えたんだろうね。y=1/2pi+(2/pi)Σ[n=1～600]cos(nx) のグラフ。
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