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日記 intime o'

電卓でルート計算というものは - 電卓 2009/6/20(Sat.)
 電卓でルート(√)キーが無いのは、安い電卓にありがち。いや、
千円くらいの電卓でも無いヤツも結構ある。使わないからね。で、
そういう電卓で二乗根を求める法、というのは有名だが、一般に
m乗根に拡張してみた。そのまま、拡張しただけだけどね。一応
数学的に証明も頑張ってみた。

[結論]
a0=a, an+1=an-(anm-a)/(m・anm-1) (ただし、a>0で、タブンm>0)の時、
an→m√a (n→∞)

[証明・抄]
a≧1について
[I] n=0で、a≧a0≧0
[II]a≧an≧m√aの時、最初のそれらしい式に代入したら、an≧an+1≧0

    (途中経過を一切書いていないのは、ただ単に、面倒なだけだから。
    本当に面倒なだけで書いてないのであって、
    計算が上手くいかなかった、とかそういうんじゃない。
    信じてください。)

[Ⅲ]以上から帰納的に
0≦an≦an-1≦・・・≦a1≦a0=a
よって、anは有限区間[0,a]の間でnについて単調減少で、
その区間の中に収束値を持つ。
収束値をαとおいて、始めのそれっぽい式の両辺をn→∞な感じで飛ばすと、
α=α-(αm-a)/(m・αm-1)
∴α=m√a
即ち、an→m√a (n→∞)。

a≦1の時は、上の不等号を全部入れ替えればいいじゃん。


○だから、例えば10の三乗根を求めたい時は、m=3だから、
次のように器械的に打てばいい。ただし、[]一つでキー一つを示す。
[3][M+]
[x][x][=][=][-][1][0][÷][3][÷][MR][÷][MR][=][M-]
            :
[x][x][=][=][-][1][0][÷][3][÷][MR][÷][MR][=][M-]
[x][x][=][=][-][1][0][÷][3][÷][MR][÷][MR][=][M-]
わー便利。でも筆算でやったほうが早くね?

○初期値、a0はaでなくても、何でも良さげ。anは単調増加or減少なので、まあ、なんか収束しそう。

○ 一応証明は数学的に正しい(途中省略しといて何を言う)のだけど、もっと感覚的に示す。

aのm乗根として、予想値として「c」を提言する。
もちろん、cがaのm乗根と呼ぶには誤差が発生する。

c = (aのm乗根) + b

とすると、bがその誤差である。このbがさらに小さいような予想値を、「この予想値cを利用して」求める。

(aのm乗根)=c-b
両辺m乗して、
a = (c-b)^m
 =c^m-m・c^(m-1)・b+(bの2次以上の項)
 ≒c^m-m・c^(m-1)・b
  //bで"誤差"じゃん。だったら小さいじゃん。bの二次以上とか無視じゃん。
⇔ b≒(c^m-a)/(m・c^(m-1))
予想値cによって、cの誤差bが大体で求まった。
これより予想値「c-b =c-(c^m-a)/(m・c^(m-1))」を提言する。

これを最初の予想値cとみなして、もう一度頑張る。
頑張れ日本。あとキューバ。それと、ドイツも。

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