日記 intime o'
log(x)のテイラー展開、ただし収束半径R→∞ - 数学 2008/10/4(Sat.)テイラー展開について確認一般のテイラー展開x～aの周りで f(x)～Σ[n=0,∞]f(n)(a)･(x-a)n/n! 但し、f(n)(x)はf(x)のn次導関数を示し、f(0)(x)はf(x)とする。 また符合「～」は極限的に「=」であることを示す。 今の場合x→aの時にf(x)が右辺に近づく事を表す。 [証明] 証明略 (/証明終)で、自然対数関数log(x)について展開する。 上の式でa=0とした方が見た目がすっきりする。 つまりx～0の周りで展開したい。 (log)'(x)=1/x だが、x=0を代入できない。 そこで、log(x+1)についてx～0の周りで展開する。 n次導関数を正負符号に気を付けてアレに入れていくと、 log(x+1)～x - x2/2 + x3/3 - x4/4 + …（但しx～0） さて、ここで問題なのはxの整式 Σan･xn = a01x1 + a2x2 + a3x3 + … について、 左の項から順に計算して合計を求めるとすると、それが収束するか、という話。 適当な自然数nについて anxnがan+1xn+1よりも 、0に近づくxなら収束しそう。 つまり整頓すると実数Rは次 R = | lim[n→∞] an/an+1 | |x| < R ⇒ 収束する |x| = R ⇒ 一般には定まらない(x=Rとx=-Rで違ったりもする) |x| > R ⇒ 発散する このRを収束半径と呼ぶ。ii 実際にある定義ではRの分母と分子が逆で、 xと1/Rの大小を比較する !! anが一般にnで表せる時はこの収束判定が有効。 表せない時はコーシの収束判定法ってのがあるけど、結果は知ってるが その意味とか証明を知らないので、まだ書けない。 さてx～0の周りで log(x+1)～x - x2/2 + x3/3 - x4/4 + …（但しx～0） だが、この右辺について収束半径Rを求めると an/an+1 = -(n+1)/n なので R = 1 ∴|x|<1の時しかlog(x+1)のテイラー展開は収束しないことになる。 |x|<1のlog(x+1)、つまりlog(1)より大きくてlog(2)「未満」の値については 収束しても泊まる。 それじゃ意味ないじゃん。 そもそも自分は国語の授業を潰す意味でlog2の近似値を求めようと思っただけ なのに、何ゆえここまで頑張ってるんだろう・・・ でもよく考えたら log(1/a) = -log(a) これを使えばいけそうだ。だって1/aなら|x|<Rで収束しそうだもんね。 1以上の実数aに対して log(a) = -log(1/a) = -log( 1-1+1/a ) = -log( 1-(a-1)/a ) わざわざこう変形したのは あのテイラー展開がlog(1+x)なので。 いまx=-(a-1)/aになっている。 この値を -α とおいてみる。即ち、α=(a-1)/a -α～0の周りで log(1+(-α))～ -α - α2/2 + α3/3 - α4/4 + … xに代入したのがマイナスだということに注意。 んで、これの符号を変えたものがlog(a)なので log(a)～α + α2/2 + α3/3 + α4/4 + … （あれ？これってexp(α)じゃん。。。 当然 |α=1-1/a| < 1 （∵a>1）なのでこれを容易に収束する。 -------------jsって簡単に公開できるから便利---------------- log(a)～α + α2/2 + α3/3 + α4/4 + … の右辺の第n項をCnとします。 つまりCn=αn/n またC1からCnまで足し合わせたものをSnとします。 つまりSn = Σ[k=1,n]Ck 以下のプログラムは入力されたaを元にしたS99を求めるものです。 その収束の様子を見たいが為にSi(0≦i≦99)を表示します(S[i]と表記)。
コメ(0) | トラ(0)
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