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日記 intime o'

戦争の微分方程式 - 数学 2008/10/2(Tue.)
参考:http://kotaro.math.kyushu-u.ac.jp/public/lecture/koukai/2007-tsujii.pdf
A軍とB軍との戦争について考える。
兵力をそれぞれX,Yとする。これは時間tの関数である。


1.古代

この頃の武器は刀、弓等の近距離でしか届かない。これによっていくら
Xが大きくても実際にはB軍と接触した所にいる兵士(これをA軍の力量と
呼ぶことにする)しか戦えない。

A,Bの力量をa,bとすると次の式が成り立ちそう。
dX/dt = -b
dY/dt = -a
初めのX(t=0),Y(t=0)をXo,Yoとすると
X = Xo - bt
Y = Yo - at
という解が求まる。

地形によるがどちらかに有利が無ければa=bと考えられ、Xo,Yoの大小で
結果は決まる。


2.近代

 Lanchester「古代とは状況が違う。」キリッ
ミサイルなど長距離に届く武器が出てきた為、X,Y全員が戦いに参加で
きる。力量a,bは、X,Yが用いる武器がどの位発揮するか、という比例定
数。武器の性能に依存する。
dX/dt = -bY
dY/dt = -aX
やはり初期のX(0),Y(0)をXo,Yoと置いて解いてみる。
二階定数常微分方程式の公式に適用すると
X = (Xo+Yo)・exp(ct)/2 + (Xo-Yo)・exp(-ct)/2
X = (Xo+Yo)・exp(ct)/2 + (Yo-Xo)・exp(-ct)/2
但しc=(ab)1/2、exp(x)=ネイピア数eのx乗

a=bとすれば、やはりXo,Yoの大小関係で結果が決まるが
使用する武器、その使い方(戦略)が違う限りa,bは変わる。


文;枚方圏内 (c)Kero's World

コメ(0) | トラ(0)


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