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Buffonと縫い針 - 数学
2008/7/12(Sat.)
以下、円周率PIをπと表す。
buffonの縫い針
無限の大きさが理想的だが、無理なので「十分に」大きな紙に等幅dの罫線を引く。
長さaの針を紙の上に落とす。
何か変なテクニックを使わずに無作為に落とす。
針が罫線に交わる確率Pを求める。
仮に針が罫線に垂直ならば、交わる確率はa/dである。
そこで針の垂直成分の長さのみを考える。
平行方向の長さはいくらあっても罫線との交わりに関係ないから。
針と罫線の成す角をθとする。
θは0～πの間とできる。(πを越える時は、反対の小さい方の角をθにすればいいから。
左右対称にして考えると0～π/2としても良いことが分かる。)
針の垂直成分の長さはa⋅sin(θ)
ヨッテ針と罫線の成す角がθの時の確率は
P'(θ) = a⋅sin(θ)/d
今、θは0～πまで連続的に考えられる。
PはあらゆるθでのP'の平均なので
P = ∫[0～π]P'⋅dθ／π
= 2a/πd
という結論です。
円周率πがPの値に含まれている為、実験の結果として結構いい感じの近似値がでる。
ただし、一回一回手で落とすというアナログな方法でやるしかなく
パソコンでシミュレートしても結局デジタル(離散)なやり方だし。
実際組んでみりゃ分かるけど本末転倒とはこのことですわ。
---dとaの設定。----------
針が紙に落ちる無作為さについて
dが大きすぎる時、罫線と罫線の上から落とすとかなりの確率で針は罫線に交わらず、ランダムを実現するためにはうんと高くから針を落とすしかない。
dはそれなりに小さくすべき。大学ノートとか丁度よくね？
一般に確率Pは
0≦P≦1
であろう。(＜じゃなくて≦なのは特異性を省きたいから)
P=2a/πdであるから、
0≦2a/πd≦1 ⇔ 0≦a≦πd/2
針の長さaは1.5dくらいよりは小さいのがいい。
経験則だが、a=dが、分かりやすい。
と、長さが自由に調節できて、あと太いと線と交わってるか見分けがつきにくいのでシャー芯とか使いやすいです。
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やってみた。
初期設定 a=d=6.2mm
結論 P=2a/πd ⇔ π=2/P
180回針を落とした結果
P = 115/180
となったので
π = 2/P
= 3.1304347826087
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