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日記 intime o'

f(x) = x2のフーリエ展開 - 数学 2007/4/4(Wed.)

フーリエ展開の練習の続き。今度は関数の周期を1にしてみる。
f(x) = x2 (0≦x<1)
 
L = 1/2 //周期を2で割る
a0 = (1/L)∫[0,1]x2dx = 2/3
an = (1/L)∫[0,1]x2・cos(nxπ/L)dx = (1/nπ)2
bb = (1/L)∫[0,1]x2・sin(nxπ/L)dx = -(1/nπ)
より、
f(x)~1/3 + Σn=[1,∞]{ cos(2nπx)/(nπ)2 - sin(2nπx)/(nπ) }
(f(x)の定数項はa0/2であることに注意)

//この~という使い方は随分最近(2009)に知った。

f(0)という値について考える時、元の式ではx=0で不連続であるから、 フーリエ展開の際、こういうものは
{ f(-0)+f(+0) }/2
となるのであった。 つまり、f(0) = {1+0}/2=1/2
さて、フーリエ展開により得られた式でx=0を代入すると、
cos(0)=1, sin(0)=0
であるから、
f(0)~1/3 + Σn=[1,∞]1/(nπ)2

∴1/3 + Σn=[1,∞]1/(nπ)2 = 1/2
式を整理して次を得る。
π2/6 = Σn=[1,∞]1/n2

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