日記　intime o'

円周率piの算出 - 数学 2008/3/26
無限級数によるpiの算出
(※piは円周率πのこと。)

(i) グレゴリーライプニッツ級数(1671)
    cot(pi/4) = 1
    ここで"cot(z) = Σ_{[n＝-∞～∞]}{ 1/(z+n･pi) }"を利用して
    z=4/piを代入すると
    1 = (4/pi)･{1/1 + 1/(1-4) + 1/(1+4) + 1/(1-4*2) + 1/(1+4*2) - …}
    　= (4/pi)･{1/1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - …}
    適当に移項して
    pi/4 = 1/1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - …

JavaScriptでのprg例・
q_pi=0.00;n=1;function f(n){p=1/(2*n-1);q_pi+=(n%2)?p:-p;
document.body.innerHTML+=(4*q_pi)+"<br>";return n+1;}
setInterval("n=f(n)",200);

0.01の位までに到達するのに300項まで計算しなければいけない。
収束半径R=|lim[n→∞](2n+1)/(2n-1)| = 1
かなり収束は遅い。


(ü)オイラー第一級数
    pi²/6 = 1/1² + 1/2² + 1/3² + …
    ゼータ関数を用いれば分かる。
    あるいは、y=f(x)=x²がx=[0,1]で周期するようなフーリエ関数を求めた時、
    y=L(x)になったとする。
    L(0) = [L(+0)+L(-0)]/2っていう証明もある。

0.0000001の位に到達するまで10000000項必要。
収束半径R=|lim[n→∞](n+1)2/n2|=1
(i)と同様に遅い。

JavaScriptのprg例：
q_pi=0;r=1;function f(r){q_pi+=1/r/r;document.body.innerHTML+=
Math.sqrt(q_pi*6)+"<br>";return r+1;}setInterval("r=f(r)",200);


(ω)ジョン・マーチンの定理(1706)･☆
    tan(a)=1/5となる0 < a < pi/4なaを置く。
    　　⇔(逆関数を用いて)tan^-1(1/5) = a　…(*1)
    tanの加法定理を乱用して
    tan(2a) = tan(a+a) = 5/12
    tan(4a) = tan(2a+2a) = 120/119
    tan(4a-pi/4) = 1/239　…(*)
    　　⇔ tan^-1(1/239) = 4a-pi/4
    適当に移項して
    pi/4 = 4a - tan-1(1/239)
    *1を代入して
    pi/4 = 4･tan^-1(1/5) - tan^-1(1/239)

    tan^-1(x)をx～0の周りでテイラー展開して
　    ～x - x³/3 - x⁵/5 + …から
    pi/4 = 4[1/5 - (1/5)^3/3 + …] - [1/239 - (1/239)^3/3 + …]

JavaScriptの例；
r=1;q_pi=0;function f(n){m=2*n-1;p=(4*Math.pow(1/5,m)-Math.pow(1/239,m))/m;
q_pi+=(n%2)?p:(-p);document.body.innerHTML+=(4*q_pi)+"<br>";
return n+1;}setInterval("r=f(r)",200);

コンピュータがまだ無い1706年。コレを発見したMarchinは
手計算で小数300桁まで計算したという話が在るほど、収束が早い。
3.14159265358979まで出すのに10項だけでよい。
収束半径R1=|limn→∞(1/5)^2*(2n+1)/(2n-1)|=1/25
収束半径R2=|limn→∞(1/239)^2*(2n+1)/(2n-1)|=1/57121
かなり収束の範囲は狭く、答えがpi/4に近くなることを意味する。
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