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日記 intime o'

円周率piの算出 - 数学 2008/3/26
無限級数によるpiの算出
(※piは円周率πのこと。)

(i) グレゴリーライプニッツ級数(1671) cot(pi/4) = 1 ここで"cot(z) = Σ[n=-∞~∞]{ 1/(z+n・pi) }"を利用して z=4/piを代入すると 1 = (4/pi)・{1/1 + 1/(1-4) + 1/(1+4) + 1/(1-4*2) + 1/(1+4*2) - …}  = (4/pi)・{1/1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - …} 適当に移項して pi/4 = 1/1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - …
JavaScriptでのprg例・ q_pi=0.00;n=1;function f(n){p=1/(2*n-1);q_pi+=(n%2)?p:-p; document.body.innerHTML+=(4*q_pi)+"<br>";return n+1;} setInterval("n=f(n)",200); 0.01の位までに到達するのに300項まで計算しなければいけない。 収束半径R=|lim[n→∞](2n+1)/(2n-1)| = 1 かなり収束は遅い。
(ü)オイラー第一級数 pi2/6 = 1/12 + 1/22 + 1/32 + … ゼータ関数を用いれば分かる。 あるいは、y=f(x)=x2がx=[0,1]で周期するようなフーリエ関数を求めた時、 y=L(x)になったとする。 L(0) = [L(+0)+L(-0)]/2っていう証明もある。
0.0000001の位に到達するまで10000000項必要。 収束半径R=|lim[n→∞](n+1)2/n2|=1 (i)と同様に遅い。 JavaScriptのprg例: q_pi=0;r=1;function f(r){q_pi+=1/r/r;document.body.innerHTML+= Math.sqrt(q_pi*6)+"<br>";return r+1;}setInterval("r=f(r)",200);
(ω)ジョン・マーチンの定理(1706)・☆ tan(a)=1/5となる0 < a < pi/4なaを置く。   ⇔(逆関数を用いて)tan-1(1/5) = a …(*1) tanの加法定理を乱用して tan(2a) = tan(a+a) = 5/12 tan(4a) = tan(2a+2a) = 120/119 tan(4a-pi/4) = 1/239 …(*)   ⇔ tan-1(1/239) = 4a-pi/4 適当に移項して pi/4 = 4a - tan-1(1/239) *1を代入して pi/4 = 4・tan-1(1/5) - tan-1(1/239) tan-1(x)をx~0の周りでテイラー展開して   ~x - x3/3 - x5/5 + …から pi/4 = 4[1/5 - (1/5)^3/3 + …] - [1/239 - (1/239)^3/3 + …]
JavaScriptの例; r=1;q_pi=0;function f(n){m=2*n-1;p=(4*Math.pow(1/5,m)-Math.pow(1/239,m))/m; q_pi+=(n%2)?p:(-p);document.body.innerHTML+=(4*q_pi)+"<br>"; return n+1;}setInterval("r=f(r)",200); コンピュータがまだ無い1706年。コレを発見したMarchinは 手計算で小数300桁まで計算したという話が在るほど、収束が早い。 3.14159265358979まで出すのに10項だけでよい。 収束半径R1=|limn→∞(1/5)^2*(2n+1)/(2n-1)|=1/25 収束半径R2=|limn→∞(1/239)^2*(2n+1)/(2n-1)|=1/57121 かなり収束の範囲は狭く、答えがpi/4に近くなることを意味する。

コメ(0) | トラ(0)


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